Banyak siswa yang mempelajari matematika tingkat tinggi di tahun-tahun terakhir mereka mungkin bertanya-tanya: di mana persamaan diferensial (DE) diterapkan dalam praktik? Sebagai aturan, masalah ini tidak dibahas dalam kuliah, dan guru segera beralih ke penyelesaian DE tanpa menjelaskan kepada siswa penerapan persamaan diferensial dalam kehidupan nyata. Kami akan mencoba mengisi celah ini.
Mari kita mulai dengan mendefinisikan persamaan diferensial. Jadi, persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan nilai turunan suatu fungsi dengan fungsi itu sendiri, nilai variabel bebas dan beberapa bilangan (parameter).
Area yang paling umum di mana persamaan diferensial diterapkan adalah deskripsi matematis dari fenomena alam. Mereka juga digunakan dalam memecahkan masalah di mana tidak mungkin untuk membangun hubungan langsung antara beberapa nilai yang menggambarkan suatu proses. Masalah seperti itu muncul dalam biologi, fisika, ekonomi.
Dalam biologi:
Model matematika bermakna pertama yang menggambarkan komunitas biologis adalah model Lotka - Volterra. Ini menggambarkan populasi dua spesies yang berinteraksi. Yang pertama, yang disebut predator, jika yang kedua, mati sesuai dengan hukum x – = –ax (a> 0), dan yang kedua - mangsa - jika tidak ada predator berkembang biak tanpa batas sesuai dengan hukum dari Malthus. Interaksi kedua jenis ini dimodelkan sebagai berikut. Korban mati pada tingkat yang sama dengan jumlah pertemuan predator dan mangsa, yang dalam model ini diasumsikan sebanding dengan ukuran kedua populasi, yaitu sama dengan dxy (d> 0). Oleh karena itu, y = oleh - dxy. Predator berkembang biak dengan kecepatan yang sebanding dengan jumlah mangsa yang dimakan: x = –ax + cxy (c> 0). Sistem persamaan
x = –ax + cxy, (1)
y = oleh - dxy, (2)
pemangsa-mangsa yang menggambarkan populasi seperti itu disebut sistem (atau model) Lotka-Volterra.
Dalam fisika:
Hukum II Newton dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), di mana m adalah massa benda, x adalah koordinatnya, F (x, t) adalah gaya yang bekerja pada benda dengan koordinat x pada waktu t. Solusinya adalah lintasan tubuh di bawah aksi gaya yang ditentukan.
Dalam ekonomi:
Model pertumbuhan output alami
Kita akan mengasumsikan bahwa beberapa produk dijual dengan harga tetap P. Misalkan Q (t) menyatakan jumlah produk yang terjual pada waktu t; maka pada saat ini pendapatan sama dengan PQ (t). Biarkan sebagian dari pendapatan yang ditentukan dihabiskan untuk investasi dalam produksi produk yang dijual, mis.
I (t) = mPQ (t), (1)
di mana m adalah tingkat investasi - angka konstan, dan 0
